Las matemáticas en el Renacimiento hispano
Itziar Molina Sangüesa
1. Marco histórico-cultural
En el ocaso de la Edad Media, un fuerte movimiento de renovación y transformación en los órdenes social, económico y cultural culminará, entrado el siglo XVI, en el despegue de la ciencia y de la técnica modernas y el asentamiento de las bases científicas en Europa.
No obstante, esta nueva realidad del estado moderno no hubiera sido posible sin el triunfo del espíritu de cálculo (Maravall, 1972: 68) que, extendido a todos los ámbitos socio-culturales, produjo un auténtico proceso de aritmetización de la realidad e inspiró una nueva configuración del saber, alejada del y quadrivium medievales (Flórez Miguel, 2001). En efecto, las aplicaciones del saber matemático a las necesidades sociales en sus dos dimensiones principales, aritmética y geometría (cfr. Sánchez Martín, 2009), son los pilares fundamentales sobre los que se asienta el desarrollo, así como gran parte de las eminentes innovaciones científico-técnicas, de la época estudiada.
Entre todas las aplicaciones prácticas de estas ciencias exactas, la que mayor importancia tuvo en la España del siglo XVI fue el cálculo mercantil. En consecuencia, a lo largo de la centuria quinientista, se publicaron en español numerosas obras consagradas a las cuentas, vinculadas preferentemente a la preparación cultural del mercader (Docampo, 2004) y a la utilización de la cultura matemática como vía burguesa de ascenso y cambio social.
El objetivo —y el gran mérito— de estos textos, inspirados en el Liber abaci de Fibonacci (1202), fue la democratización del cálculo y la generalización del uso de los numerales indo-arábigos, así como del principio posicional de base decimal y los sofisticados algoritmos de origen oriental. Este sistema, mucho más eficaz y aventajado que el tradicional uso del ábaco, la mano o los numerales indo-arábigos, permitió que el secretismo medieval en torno a las cuentas se propagara, en el Siglo de Oro, a una franja más extensa de la población.
Uno de los hechos que contribuyó en gran medida a la aritmetización de la sociedad quinientista fue el empleo de la lengua vulgar como vehículo de expresión científica. Así, los matemáticos hispanos de la época, movidos por un afán de, sobre todo, hacerse entender y poner la ciencia al alcance de todo el mundo, escribieron en romance castellano un gran número de obras consagradas a las cuentas y a la formación matemática del mercader (u otros oficios análogos). Entre las aritméticas más representativas del marco hispánico destacan las confeccionadas por Juan de Ortega (1512), Marco Aurel (1552) y Juan Pérez de Moya (1562 y 1589), tanto por la elevada difusión que alcanzaron como por la eficacia divulgadora de sus contenidos. Son textos didácticos, marcados por un estilo claro y sencillo, en el que abundan, entre otras, las explicaciones, ejemplos, demostraciones y definiciones de los objetos, ideas y conceptos matemáticos que, por primera vez, se designan en español.
Otro de los logros emanados de la publicación de las aritméticas prácticas fue el desarrollo del álgebra en la península Ibérica, ya que estas obras solían contener un apéndice final o capítulo dedicado a la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una o más incógnitas (por ejemplo, en las obras de Marco Aurel, 1552, y Pérez de Moya, 1562), que trascendía los límites de las operaciones directamente aplicables al comercio y agudizaba el ingenio de los más curiosos e interesados en esta ciencia de los números. En esta línea, el libro redactado por Pedro Núñez (1567), da un paso más y le confiere al álgebra una entidad propia, independizándola de la aritmética; motivo por el que se convierte en uno de los mayores avances —si no el mayor— reseñables en la matemáticas producidas en España en el gran siglo de desarrollo del álgebra.
En efecto, el siglo XVI revolucionó la concepción y la expresión del álgebra que, frente a la aritmética (marcada por la tradición y por el mantenimiento de las teorías y las designaciones acuñadas por autoridades greco-latinas), a lo largo de la centuria, avanzó de la retórica de los textos árabes surgidos a partir de la obra de al-Khwārizmī, a las síncopas (de origen italiano, por un lado, y, alemán, por otro), hasta alcanzar, a finales del Renacimiento y entrado el S. XVII, la abstracción y expresión simbólica que hoy le caracteriza.
Desde un punto de vista histórico y cultural, la excelencia de estas obras que, a continuación, presentamos, así como de la materia tratada en las mismas, es un hecho notorio. Asimismo, desde un punto de vista lexicológico y lexicográfico, estos tratados encierran un rico y vasto material1, como podrá apreciar el usuario interesado a través de la búsqueda de voces aritmético-algebraicas en DICTER.
2. Matemáticos y obras matemáticas
Presentamos algunos de los autores y textos matemáticos más representativos del periodo áureo hispano2.
2.1. Juan de Ortega
Palentino de origen (ca. 1515–1542), aunque tal vez formado en París, fue miembro de la Orden de Predicadores, adscrito a la provincia de Aragón, enseñó aritmética y geometría en España e Italia, privada y públicamente (Rey Pastor, 1926: 67). Fue el autor de la más importante de las aritméticas mercantiles publicadas en España, cuyo propósito era esencialmente de carácter práctico y didáctico, para que “no passasen tantos fraudes como pasan por el mundo de las cuentas” (1512: fol. 1v), esto es, con la idea “de facilitar la exactitud, tan ligada a la honestidad en las prácticas mercantiles, conforme a las virtudes que en su profesión los burgueses deben cultivar” (Maravall, 1972: 167).
2.1.1. Conpusición de la arte de la Arismética y de Geometría (Lyon, 1512)
Esta obra, la primera aritmética mercantil que se publicó en español y la mejor de todo el periodo renacentista, fue una de las más importantes en el panorama científico de la península Ibérica a lo largo del Quinientos, motivo por el que alcanzó numerosas ediciones (Paradis/Malet, 1989: 232).
Se trata de una aritmética comercial que apareció en la ciudad francesa de Lyon en 1512 (a cargo de un librero barcelonés, según Salavert Fabiani, 1990: 69), cuya influencia francoprovenzal3, a la que también se adscribe la Suma de Francesc Santcliment (1482), ha sido destacada por los investigadores (cf. Seisano, 1984; Malet, 2000; Labarthe, 2004); de ahí la presencia de catalanismos (como la voz tranzado, para designar al número quebrado) o galicismos (como el término nombre para referirse a número).
La Conpusición de la arte de la Arismética y de Geometría fue traducida tempranamente al italiano (Roma, 1515; Mesina, 1522) y al francés (Lyon, 1515), bajo el título Ouvre tres subtille et profitable de l'art et science de aristmeticque: et geometrie, translate nouvellement d'espaignol en francoys..., cuyo traductor, según el prólogo, es Claude Platin (López Piñero et al., 1984: 263) y se convirtió en el primer texto de aritmética práctica publicado en Francia en dicho idioma. Por otro lado, también fue reeditada varias ocasiones en castellano en Sevilla (1534, 1537, 1542 y ampliada por Gonzalo de Busto en 1552) y en Granada en 1563 (corregida por Juan Lagarto), en las que aporta el dominico un método original de aproximación de raíces que, según ha estudiado Rey Pastor (1926: 79-81), mediante un método de intercalación aditiva, satisface óptimamente la ecuación de Pell.
En cuanto a su contenido, de manera análoga al resto de las aritméticas comerciales de la época, centra el interés en las reglas de tres, de compañías (o repartos proporcionales) y de cambios, principalmente. Asimismo, dedica una gran atención a estudiar las cuatro reglas (en los seis primeros capítulos) y las fracciones (a partir del noveno capítulo al decimocuarto). Igualmente, explica Ortega las distintas progresiones (a lo largo del capítulo sexto) y los algoritmos para la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas (en el séptimo). En los capítulos finales de la aritmética del dominico palentino, en línea con la fecunda tradición inspirada por las aritméticas mercantiles de los siglos XIII, XIV y XV, se documentan los métodos de una y dos falsas posiciones (capítulos 34 y 35, fols. 171r-192v), los cuales nos conducen hasta las puertas del álgebra4.
El análisis de los problemas recogidos en este manual nos permite acercarnos al mundo mercantil de la época, pues muchos de ellos presentan una aplicación directa a situaciones comerciales y reflejan, por tanto, costumbres contractuales, contratos, repartos, testamentos, censales, arrendamientos, precios, etc. Por lo que respecta al modo de introducción de los distintos métodos de cálculo y de resolución de los mismos, Ortega es absolutamente práctico: por medio de una colección más o menos larga de ejemplos concretos procede a la descripción explicación de cada operación, mediante una exposición simple y directa.
En definitiva, la importancia de estos textos de aritmética práctica (en los que las innovaciones son casi inexistentes) debe considerarse “como reflejo de una sociedad que los necesitaba como divulgación de técnicas fundamentales para el desarrollo de la actividad económica” (Salavert Fabiani, 1990: 87). Dirigidas al futuro mercader u hombre de negocios, constituían una herramienta de trabajo “con algunas de las funciones de las calculadoras de bolsillo de hoy” (Paradis/Malet, 1989: 107).
2.2. Marco Aurel
Matemático alemán afincado en Valencia en las décadas centrales del siglo XVI ejerció, según detalla en sus obras, la profesión de maestro de contar. En esta misma ciudad, publicó en 1541 un manual dirigido a mercaderes: Tratado muy útil y provechoso para toda manera de tratantes y personas afficionadas al contar: reglas breves de reduciones de monedas y otras reglas tanto breves como compendiosas. Se trata de uno de los numerosos manuales de cuentas impresos en España a lo largo de esta centuria quinientista, en relación directa con los principales centros de actividad mercantil y financiera españoles de la época (Diccionario Biográfico Español, DBE: 83-84). Efectivamente, a finales del siglo XV y principios del XVI “había en Valencia una importante presencia de mercaderes alemanes que operaban a través de compañías mercantiles como la Grose Ravensburguer HandelsGesellschaft” (cf. Hinojosa, 1987: 457). De tal modo que “es posible que el origen de la presencia de Aurel en Valencia estuviese relacionado con estos agentes comerciales” (Docampo, 2004: 549).
Una década después, en 1552, publicó su obra más importante, titulada Libro primero de Arithmética algebrática, la cual ejerció una gran influencia en el desarrollo posterior de la matemática en España (Rey Pastor, 1926: 103).
2.2.1. Libro primero de Arithmética algebrática (Valencia, 1552)
Dedicado al muy magnífico señor Mossén Bernardo Cimón, ciudadano de Valencia (Picatoste, 1891: 21), con fecha de 16 de enero de 1552, fue el primer libro de álgebra impreso en la península Ibérica, aunque no el primero que se escribía (cf. Docampo, 2004); de ahí que se le haya considerado tradicionalmente como el introductor del álgebra en el marco hispánico del Renacimiento.
Este libro, especialmente su apartado dedicado a la Regla de la cosa o Arte Mayor, ejerció una gran influencia en el desarrollo de la vertiente abstracta de las matemáticas en España, ya que el resto de tratados de álgebra aquí publicados en el siglo XVI se basaron en el compuesto por Marco Aurel, como puede apreciarse en la Arithmética de Antic Roca (1565) o en la de Juan Pérez de Moya (1562) (§ 2.3.1.).
La estructura de la Arithmética algebrática5 es semejante a la del resto de manuales de cálculo mercantil o aritméticas prácticas: comienza con una descripción del sistema de numeración posicional de base diez y los algoritmos de las cuatro operaciones con números enteros positivos; a partir de ahí presenta una descripción de las propiedades de los números fraccionarios y de sus operaciones. A continuación, en el tercer capítulo, trata el concepto aritmético de la proporción y la proporcionalidad, así como las reglas de tres, de una y dos falsas posiciones y otras reglas de repartos proporcionales implicadas en la resolución de problemas derivados del arte mercantil (capítulos cuarto y quinto) y las progresiones (capítulo sexto). Una vez expuestos estos contenidos característicos del Arte Menor, el algebrista alemán, en los seis capítulos siguientes (del séptimo al decimoquinto), estudia los números cuadrados, cúbicos y sus raíces o binomios.
Finalmente, este texto contiene una característica que lo distingue del resto de las aritméticas prácticas: un apartado complementario dedicado a explicar y divulgar las reglas básicas del álgebra, denominada Regla de la cosa o Arte Mayor. En los doce últimos capítulos estudia el álgebra de radicales y polinomios y la resolución de ecuaciones, con numerosos ejemplos prácticos de aplicación). Esta ciencia aparece en la obra de Marco Aurel como un instrumento, complejo y poderoso, necesario para la resolución de problemas. En efecto, “el álgebra fue el fruto más refinado de una nueva concepción característica del siglo XVI, la de que las matemáticas son imprescindibles para manejar aspectos fundamentales de la vida social” (Paradis/Malet, 1989: 134).
2.3. Juan Pérez de Moya
Juan Pérez de Moya (Santisteban del Puerto, Jaén, ca. 1513 – Granada, 1597), completó sus estudios en Alcalá de Henares6 y Salamanca, en cuya ciudad, según certifican sus contemporáneos, fue docente, pues, en la misma, detalla el maestro Alejo de Venegas “con público applauso ha leýdo”, al igual que lo hiciera “en la Corte y en otros muchos lugares insignes”7.
Los biógrafos de este matemático jienense aseguran que fue un hombre extraordinariamente culto que leyó y asimiló todo lo publicado en su época. Su formación como humanista justifica su amplia y variada producción, la cual puede dividirse en dos ramas diferenciadas: escritos de tema científico-matemático y escritos de tema religioso-moral (cf. Valladares, 1997: 378; Rodríguez Vidal, 1987: 7-13), aunque en todos ellos está presente el mismo denominador común que caracteriza al Bachiller: su espíritu didáctico y su incansable interés divulgativo.
No obstante, fue en su faceta de matemático en la que más destacó, tal y como lo demuestran los elogios de sus coetáneos, entre otros, Lope de Vega, en el Peregrino de su patria (1604): “Moya es notable y célebre aritmético” o la valoración posterior de la crítica especializada:
2.3.1. Arithmética práctica y speculativa (Salamanca, 1562)
La obra más relevante de Moya, Arithmética práctica y speculativa, fue publicada por primera vez en el año 1562 (Salamanca, en la imprenta de Mathías Gast) y llegó a alcanzar más de 30 ediciones8 hasta el año 1875. Fue muy conocida dentro y fuera de nuestra fronteras. De hecho, Simon Stevin (1548–1620), el famoso matemático e ingeniero flamenco contemporáneo suyo, en su Practique de Arithmetique (1585: 29-30) la cita entre los libros que aconseja para estudiar la regla de tres y la extracción de la raíz cúbica.
Este tratado es considerado por la crítica como el libro “más importante en la España del siglo XVI, no tanto por sus innovaciones (que no las tiene) sino por lo que supuso en la divulgación de esta materia9, tenida por muchos como excesivamente árida y, por ende, inaccesible” (Valladares, 1997: 391).
La obra se divide en nueve partes o libros, desigualmente extensas y relevantes, que versan sobre aspectos relativos a la aritmética, tanto en su vertiente práctica como especulativa, y a la regla de la cosa o álgebra. La primera y la segunda están dedicadas a las operaciones con números enteros positivos y quebrados, respectivamente. La tercera “trata de la regla de tres y compañías, y testamentos o partijas o finezas de oro, y otras cosas tocantes al Arte, que dicen menor” (1562: 225-304), en el que se explican diversos métodos de reparto proporcional, así como los métodos de una y dos falsas posiciones. El libro cuarto trata de algunas reglas de geometría práctica necesaria, en palabras de Moya, para medir heredades, es decir, para cálculo de áreas. La quinta parte de esta afamada aritmética es una miscelánea que contiene una parte de la teoría pitagórica de números (en cuya clasificación destacan: el número superfluo, diminuto, perfecto, etc.), un capítulo dedicado a las consonancias y disonancias de la música y sus definiciones, y otro dedicado a la proporcionalidad. La parte sexta, en cambio, trata de reglas para contar sin pluma y de reducir unas monedas con otras.
En la página 443 comienza el libro séptimo en que se pone un compendio sobre la Regla de la cosa o Arte mayor, que tanto por su extensión —más de 170 páginas— como por el poema y el proemio (del catedrático de retórica de la Universidad de Salamanca, Francisco Sánchez de las Brozas) que lo encabezan, consideramos, de acuerdo con Paradis/Malet (1989: 241), que esta era manifiestamente la parte más importante de la obra en la intención del autor. En este apartado dedicado al álgebra las coincidencias entre la obra de Moya y la de Marco Aurel indican una atenta lectura del libro del alemán (aunque el andaluz no hace alusión o mención al mismo, práctica que, por otra parte, es habitual en este tipo de tratados, en los que los autores se copian unos a otros sin especificar las fuentes). Efectivamente, la obra de Aurel parece haber sido una de las fuentes principales de la aritmética más popular que se escribió en la península, hasta tal punto que Moya llega a copiar incluso algunos errores del algebrista germano.
La octava parte de la obra trata de algunos caracteres de cuentas, monedas, y pesos antiguos, juntamente con unas reglas para sacar las fiestas que dicen movibles. Finalmente, el “libro nono”, la última parte de la obra, contiene un diálogo (cf. Gómez, 1988; Ferreras, 1993 y 2008) entre dos estudiantes, Sofronio y Antímaco, en el que se exponen de forma ordenada las réplicas y contrarréplicas de los dos interlocutores en pro y en contra de la aritmética (Rodríguez Vidal, 1987; Baranda Leturio, 2011; Molina Sangüesa, en prensa).
La Arithmética práctica y speculativa (1562) de Moya fue, sin duda, “uno de los manuales de mayor éxito en la Castilla y en la España de su época” (Esteban Piñeiro/Salavert Fabiani, 2002: 246). Escrita con una gran claridad de exposición, reúne excelente información claramente sistematizada y expuesta de forma muy precisa, amena y atractiva. Este libro ofrece un compendio del saber coetáneo sobre aritmética —abarca desde los niveles más elementales, como contar con los dedos, hasta las últimas novedades, como la Regla de la cosa o álgebra (López Piñero, 1999: 334)— que revela la erudición de su autor, quien realizó una brillante labor vulgarizadora y didáctica. Subraya Picatoste (1891: 245) que apenas hay un párrafo en las obras de Pérez de Moya en que no resalte y se descubra claramente este propósito, al que parece dedicó su vida: procurar poner la ciencia al alcance de todo el mundo.
2.3.2. Manual de contadores (Madrid, 1589)
Otro texto matemático elaborado por el jinense Pérez de Moya, no tan relevante y difundida como el anterior, como se deduce del título, se trata de un manual de aritmética práctica destinado a aquellos que aspiraban a desempeñar el oficio de contadores o computistas,
Efectivamente, los valores, así como las paridades monetarias y los tipos de cambio encuentran un lugar destacado en estas páginas, auspiciados probablemente por “el afán de cálculo y de exactitud empezó a inundar la mentalidad mercantil y urbana de la época” (Salavert Fabiani, 1990: 87), dado que, en el siglo XVI, la normalización de los pesos, las medidas y las monedas preocupó en repetidas ocasiones. De hecho, según Docampo (2004: 570-571), la inclusión de ejercicios de trueques en gran parte de los tratados aritméticos de la época confirman la escasez de moneda. Estos problemas de cambios de moneda nos aportan una información muy valiosa sobre el mundo financiero medieval.
Este texto sigue el modelo de los manuales de mercadería surgidos en el seno de ciertas empresas mercantiles europeas,
Como hemos anticipado, para la instrucción de este grupo socioprofesional resultaba de gran utilidad aprender las reglas aritméticas básicas y algunas operaciones más complejas, explicadas, en general, mediante el planteamiento de problemas que reproducían posibles situaciones reales.
El Manual de contadores (1589) se divide en cuatro libros: el punto de partida de este texto es la enseñanza de la denominada por Moya cuenta de guarismo (es decir, del sistema de numeración indo-arábigo y el valor posicional), la cual va seguida de la exposición de la cuenta castellana (sistema de numeración romano) y de la tabla de contar mediante cálculos o jetones. A continuación, el célebre matemático andaluz presenta con todo detalle los algoritmos de las cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división, aplicadas al peso, a determinadas medidas áridas (como el trigo, centeno, cebada), líquidas (entre otras, la miel, el vino o el aceite), así como a la cronometría y a las diversas monedas de Valencia, Aragón y otros reinos hispanos, acompañadas por una serie de reglas o pruebas que confirman o refutan su veracidad.
En el libro segundo se exponen y estudian los números quebrados: por un lado, su simplificación o conversión (del primer capítulo al decimocuarto) y, por otro, las cuatro operaciones aritméticas fundamentales aplicadas a los mismos, esto es, la suma, resta, multiplicación y división de fraccionarios (capítulos XV–XXII). En el tercero, Pérez de Moya introduce la regla de tres (con sus variantes simple/compuesta) y la regla de compañía (con y sin tiempo), aplicadas al contexto mercantil o ámbito de negocios, en los que a menudo se da la necesidad de efectuar una serie de repartos proporcionales relativos a las “alcavalas y otros tributos” (fol. 166), “rentas ecclesiásticas” (fol. 167), “subsidio” (fol. 170), “pujas de rentas” (fol. 171), “monto o cuenta de navío” (fol. 172) o testamentos en los que se debe partir una hacienda entre muchos o pocos herederos. Finalmente, hallamos una serie de muestras que enseñan a hacer cuentas para comprar y vender tapicería, oro y plata (en las que Moya ofrece precisiones sobre su peso, quilates, ...).
Por último, el cuarto libro está encabezado por una tabla en que se ponen los valores de las monedas y pesos de Castilla (fols. 200-202), Portugal, Flandes, Francia (Perpiñán), Italia (Nápoles, Génova, Milán, Palermo, Sicilia, Venecia), esto es, de las grandes ciudades comerciales del Mediterráneo. Los capítulos que le siguen son una muestra de cómo reducir monedas: por ejemplo, ducados en maravedís (fol. 205), maravedís en ducados (fol. 207), escudos o coronas en maravedís (fol. 209), reales en maravedís (fol. 211), y un largo etcétera.
En definitiva, esta obra es una muestra de un género de escritos corrientes en los ambientes económicos de la época, los cuales denotan la demanda que tenía el saber matemático entre los mercaderes.
2.4. Pedro Núñez Salaciense
Pedro Nunes Salaciense (Alcácer do Sal10, 1502 – Coimbra, 1578), más conocido por su nombre latinizado Petrus Nonnius Salaciens11 o por la forma española Pedro Núñez Salaciense, estudió Filosofía y Medicina en Lisboa, donde obtuvo el grado de Doctor y explicó una cátedra de Filosofía desde 1530 hasta 1533. Asimismo, se aplicó especialmente al estudio de las ciencias matemáticas, motivo por el que obtuvo la primera cátedra de Coimbra en 1544 (Picatoste, 1891: 218) y fue durante seis años profesor de Matemáticas en la Universidad de Salamanca (Flórez Miguel, 2006: 418).
Es en su faceta de matemático en la que más sobresalió12, según Malet (2000: 209), se debe considerar a Núñez como “el mejor matemático que diera la península Ibérica en los siglos XVI y XVII13”, por tanto, en la que focalizaremos nuestro interés. Entre sus muchos trabajos y estudios, en el campo de las matemáticas su obra más importante es Libro de Álgebra en Arithmética y Geometría, “per la gran influència que va exercir en aquella època i per la singularitat dels procediments i justificacions geomètriques i algebraiques emprades per l’autor” (Massa Esteve, Rommevaux y Roca-Rosell, 2010: 4). Fue publicada en 1567 y reimpresa en dos ocasiones14. Una de las características más llamativas de esta obra es la auto-traducción15 (del portugués al español) que realizó el propio autor:
2.4.1. Libro de Álgebra en Arithmética y Geometría (Amberes, 1567)
La edición que manejamos para este análisis y selección léxica es la segunda, publicada en Amberes, gran centro editor de literatura científica. Entre las obras de Aurel o Moya y el Libro de Álgebra en Arithmética y Geometría (1567) de Núñez existe una profunda diferencia. Como hemos analizado en 4.2.1. y 4.3.1., tanto en la Arithmética algebrática (1552) del matemático alemán como en la Arithmética práctica y speculativa (1562) del andaluz, al igual que en otros tratados matemáticos de la época, el álgebra es un capítulo o apéndice más de la aritmética, casi reducida a la Regla de la cosa, aplicada a las diversas igualaciones simples y compuestas, expuestas dogmáticamente. Por el contrario, la obra del portugués, publicada 30 años antes en su lengua materna, tal y como explicita el autor en el prólogo (1567: fols. IIIr-IIIv), supone un gran avance, ya que al dedicar las dos primeras partes al álgebra como tal confiere este a saber una entidad propia, que hasta entonces no se le había concedido. “Si tenemos en cuenta que su libro fue escrito hacia 1537 podemos decir que se anticipó a Cardano, que es considerado como el primero que dio autonomía al Álgebra en su obra: Ars Magna, publicada en el año 1545” (Flórez Miguel, 2006: 418), aspecto que Massa Esteve denomina como “la algebrització de les matemàtiques”, esto es, “quan l’àlgebra comença a ser considerada una disciplina independent dins de la matemàtica” (2010: 101).
En esta innovadora obra, desarrolla Núñez una teoría de las ecuaciones, una teoría de las operaciones polinómicas y un “estudio completo de las operaciones algebraicas casi idéntico al actual, mediante reglas que van acompañadas de su demostración geométrica” (Rey Pastor, 1926: 117-118). De hecho, alude el autor a esa relación intrínseca que existe entre álgebra y geometría:
Encontramos en Núñez “una preocupación por el rigor y la claridad en los conceptos que introduce, y por la justificación de las reglas y técnicas que utiliza, que le identifican como un matemático de gran nivel” (Malet, 2000: 210), con una evidente finalidad didáctica, reconoce: “no es nuestra intención escrevir para los doctos, los quales de nuestra escriptura no ternán necessidad” (1567: fol. 46r). Su obra contiene además algunas innovaciones notacionales (por ejemplo, para las raíces, véase Molina Sangüesa 2015) o el planteamiento del problema de máximo común denominador de polinomios —necesario para la simplificación de fracciones algebraicas— .
El Libro de Álgebra, dedicado al Príncipe Cardenal Infante don Enrique (en Lisboa, a 1 de diciembre del año 1564), que confeccionó el matemático luso se divide en tres partes principales. La primera consta de seis capítulos en los que se exponen cuál es el fin del álgebra y de sus conjugaciones (es decir, ecuaciones, en terminología de Núñez) y de sus reglas (fol. 1). A continuación, en los folios 2-5, exhibe el algebrista la “práctica de las reglas”, aplicadas, en el tercer y cuarto capítulo, a la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado (fols. 5-23), para las cuales ofrece varias demostraciones.
Por otro lado, la segunda parte, estructurada o subdividida en tres secciones con once, doce y quince capítulos, respectivamente, presenta operaciones con polinomios y fracciones algebraicas (fols. 24-42), con radicales (fols. 43-60) y con proporciones (fols. 61-124). Para ello, define, en primer lugar, cuáles son los elementos algebraicos con los que ha de operar a lo largo de su tratado: las potencias (denominadas en su obra dignidades). Igualmente, tras explicar cómo se simplifican los números quebrados a un común denominador (fol. 34), enseña Pedro Núñez a abreviar, sumar, restar, multiplicar y dividir con esta tipología numeral específica aplicada al álgebra. A continuación, propone una clasificación de los distintos tipos de raíces —las cuales van, a su vez, acompañadas por su respectiva definición— con las que, de manera análoga a las potencias y quebrados, demuestra cómo han de sumarse, multiplicarse, disminuirse y repartirse, al mismo tiempo que ofrece una serie de reglas generales para la ejecución de dichas operaciones. Por último, aporta el autor una definición del concepto de proporción, así como una detallada clasificación de sus distintos géneros, mediante las que manifiesta, entre otras posibilidades, cómo por lo noto o conocido podemos llegar a conocer lo ignoto (fol. 99).
Finalmente, la tercera parte principal, la más práctica y extensa (fols. 125-323), compuesta por siete capítulos, está dedicada a la resolución de problemas “aritméticos” (que ascienden a un total de 110), del tipo: 8. Buscar dos números en proporción dupla que, multilicando el uno por el otro, hagan 10 (fol. 153), 54. Partamos 10 en tales dos partes, que, partiendo la mayor por la menor, lo que viniere sea la mitad de lo que se haze multiplicando la mayor por la menor (fol. 170), etc., y “geométricos” (77)16, como: 7. Si el excesso del diámetro sobre el lado fuere conoscido, cada uno por sí será conoscido (fol. 230) o 63. Si los lados del triángulos fueren conoscidos, por ellos podremos saber quánto el centro del peso es apartado de cada uno de los ángulos (fol. 287).
En suma, esta obra dedicada al álgebra es una muestra de cómo esta disciplina “est la clef, l’entrée et la porte des abismes qui sont en la science des nombres” (Chuquet, 1484: fol. 83v).
Referencias bibliográficas
Baranda Leturio, Consolación (2011): “Formas del discurso científico en el Renacimiento: tratados y diálogos”, Studi Aurea: Revista de Literatura Española y Teoría Literaria del Renacimiento y Siglo de Oro, 5, pp. 3-21.
Bosmans, Henri (1908a): “Sur le Libro de Algebra de Pedro Nuñez”, Bibliotheca Mathematica, 8, pp. 154-169.
Bosmans, Henri (1908b): “L’algbre de Pedro Nuñez”, Annaes Scientificos da Academia Polytechnica do Porto, 3, pp. 222-271.
Docampo Rey, Javier (2004): La formación matemática del mercader catalán 1380-1521. Análisis de fuentes manuscritas [Tesis doctoral inédita]. Santiago de Compostela: Universidade de Santiago de Compostela.
Esteban Piñeiro, Mariano y Vicente Salavert Fabiani (2002): “Las matemáticas”, en J. Mª López Piñero (dir.), Historia de la ciencia y de la técnica en la Corona de Castilla. vol. III. Siglos XVI y XVII. Valladolid: Junta de Castilla y León, pp. 231-257.
Ferreras, Jacqueline (2008²): Los diálogos humanísticos del siglo XVI en lengua castellana. Murcia: EDITUM Ediciones de la Universidad de Murcia.
Flórez Miguel, Cirilo (2001): “Otra cara del humanismo”, en Mª J. Mancho (ed.) y C. Blas (coord.), Pórtico a la ciencia y a la técnica del Renacimiento. Salamanca: Junta de Castilla y León, Universidad de Salamanca, pp. 11-43.
Flórez Miguel, Cirilo (2006): “Ciencias, siglos XV-XVII”, en L. E. Rodríguez-San Pedro Bezares (coord.), Historia de la Universidad de Salamanca, vol. III, Saberes y confluencias. Salamanca: Ediciones Universidad de Salamanca, pp. 409-433.
Gómez, Jesús (1988): El diálogo en el Renacimiento. Madrid: Cátedra.
Hinojosa, J. Ramón (1987): “Mercaderes alemanes en la Valencia del siglo XV: la 'Gran Compañía' de Ravensburg”, Anuario de Estudios Medievales, 17, pp. 205-211.
Igual, David (2009): Una aproximación a la cultura mercantil en los reinos hispánicos de la Baja Edad Media”, en P. Boucheron y F. Ruiz Gómez (eds.), Modelos culturales y normas sociales al final de la Edad Media. Actas del Coloquio (Madrid y Almagro, 15 y 16 de abril de 2004), pp. 273-308.
Labarthe, Marie-Hélne (2004): Premires arithmétiques imprimiées des Espagnes: une hiérarchie des problmes au service des procédes de résolution [Tesis doctoral inédita]. Toulouse: Université Paul Sabatier.
Leal y Leal, Luis (1971-1972): “El Bachiller Juan Pérez de Moya”, Boletín del Instituto de Estudios Giennenses, nº 70-71, pp. 17-36.
Leitão, Henrique (2010): “Pedro Nunes e o Libro de Álgebra”, Quaderns d’Història de l’Enginyeria, volum XI, pp. 9-19.
López Piñero, José Mª; Glick, Thomas F.; Navarro Brotóns, Víctor y Eugenio Portela Marco (eds.) (1983): Diccionario histórico de la ciencia moderna en España. Barcelona: Ediciones Península, 2 vols.
Malet, Antoni (2000): “Mil años de matemáticas en Iberia”, en A. J. Durán (ed.), El legado de las matemáticas de Euclides a Newton: los genios a través de sus libros. Sevilla: Consejería de Cultura (Junta de Andalucía) - Universidad de Sevilla -Real Sociedad Matemática Española, pp. 193-225.
Mancho Duque, Mª Jesús (2004a): “La divulgación técnica: características lingüísticas”, en M. Silva Suárez (ed.), Técnica e ingeniería en España. El Renacimiento. Zaragoza: Institución “Fernando el Católico”-Diputación de Zaragoza, pp. 307-340.
Maravall, José Antonio (1972):Estado moderno y mentalidad social. Madrid: Revista de Occidente.
Massa Esteve, Mª Rosa (2010): Àlgebra i Geometría al Libro de «Álgebra en Arithmética y Geometría (1567) de Pedro Núñez», Quaderns d’Història de l’Enginyeria, volum XI, pp. 101-129.
Meavilla Seguí, Vicente (1993): “Una aproximación al Libro primero de Arithmetica Algebratica de Marco Aurel”, en T. Rojano y L. Puig (eds.), Memorias del tercer simposio internacional sobre investigación en educación matemática. Historia de las ideas algebraicas.Valencia/México: Departamento de la didáctica de la matemática Universitat de Valencia – PNFAMP/ México, pp. 65-95.
Menéndez Pelayo, Marcelino (1953-1954): La ciencia española. Tomo III. Madrid: Consejo Superior de Investigaciones Científicas (C.S.I.C.).
Molina sangüesa, Itziar (2015): Las matemáticas en el Renacimiento hispano: estudio léxico y glosario [Tesis doctoral inédita]. Salamanca: Universidad de Salamanca.
Molina sangüesa, Itziar (en prensa): “Una aproximación al didactismo matemático renacentista a través de los diálogos de la Arithmética práctica y especulativa (1562) de Juan Pérez de Moya”, Anexos Revista de Lexicografía.
Paradis, Jaume y Antoni Malet (1989): Los orígenes del álgebra: de los árabes al Renacimiento. Barcelona: Promociones y Publicaciones Universitarias (PPU).
Picatoste y Rodríguez, Felipe (1891): Apuntes para una biblioteca científica española del siglo XVI. Madrid: Imprenta y Fundación Manuel Tello.
Rey Pastor, Julio (1926): Los matemáticos españoles del siglo XVI. Madrid: Biblioteca Scientia.
Rodríguez Vidal, Rafael (1987): “Prólogo y notas”, Diálogos de Aritmética práctica y especulativa (1562), Bachiller Juan Pérez de Moya. Zaragoza: Prensas Universitarias de Zaragoza, pp. 5-25.
Rommevaux, Sabine; Spiesser, Maryvonne y Mª Rosa Massa Esteve (2012): Pluralité de l’Algbre à la Renaissance. Paris: Honoré Champion ƒditeur.
Salavert Fabiani, Vicent L. (1990): “Introducción a la historia de la aritmética práctica en la Corona de Aragón del siglo XVI”, Dynamis. Acta Hispanica ad Medicinae Scientiarumque Historiam Illustrandam, 10, pp. 63-91.
Sánchez Martín, Francisco Javier (2009): Estudio del léxico de la geometría aplicada a la técnica en el Renacimiento hispano. Salamanca: Ediciones Universidad de Salamanca.
Seisano, Jacques (1984): “Une arithmétique médievale en langue provenale”, Centaurus, 27, pp. 26-75.
Valladares Reguero, Aurelio (1997): “El Bachiller Juan Pérez de Moya: Apuntes bio-bibliográficos”, Boletín del Instituto de Estudios Giennenses, 165, pp. 371-412.
Ventura Sousa, Manuel (1985): Vida e Obra de Pedro Nunes. Lisboa: Instituto de Cultura e Língua Portuguesa.
[1] “En el XVI asistimos a la nueva tarea de conocer y nombrar en español, en tanto que lengua común peninsular y, a la vez, de expansión atlántica; al esfuerzo, siempre entusiasta, titánico muchas veces, por racionalizar, organizar y sistematizar lingüísticamente, en sus incipientes balbuceos, una abrumadora masa de datos que las nuevas técnicas hacían aflorar por doquier. A estos pioneros del lenguaje científico, auténticos exploradores de la experimentación terminológica y de la innovación léxica, se les debe el innegable mérito de haber incrementado y enriquecido nuestro idioma en ámbitos nunca hollados hasta entonces” (Mancho Duque, 204: 339).
[2] Incluimos en esta nómina algunos matemáticos foráneos (como el alemán Marco Aurel o el portugués Pedro Núñez Salaciense) que estuvieron instalados en la península Ibérica durante cierto tiempo, en el que escribieron una serie de tratados aritmético-algebraicos en español, fundamentales en el desarrollo de ambas disciplinas en el contexto del Quinientos hispano. Por otro lado, además de las obras seleccionadas para las investigaciones de esta parcela léxica, destacan, entre otras, una serie de aritméticas prácticas publicadas en el Renacimiento español, como la Arithmetica de Antic Roca (publicada en Barcelona en 1564), el Libro y tratado del arismetica y arte mayor y algunas partes de astrología y matematicas (1598) del catedrático de astronomía y matemáticas de la Universidad de Salamanca, Diego Pérez de Mesa, el Dorado contador (1594) de Miguel Gerónimo de Santa Cruz, el Libro intitulado Arithmetica practica muy vtil y prouechoso para toda persona que quisiere exercitarse en aprender a contar agora nueuamente (1549) confeccionado por Juan de Icíar, el Compendio de los números y proporciones (1535, Lyon) del catedrático de la universidad de Huesca, Pedro Melero, el Sumario breve de la práctica de Arithmética (Sevilla, 1515) redactado por Juan de Andrés o la Suma de arithmetica pratica y de todas mercaderias; con la horden de contadores, publicada en Valladolid en 1546 por Gaspar de Tejeda. Para más información, léase Salavert Fabiani (1990). Como puede apreciarse, tanto en número de autores, como de textos confeccionados y número total de ediciones, los tratados de la corriente práctica superaron ampliamente los universitarios (Esteban Piñeiro/Salavert Fabiani, 2002: 250).
[3] El tratado de Ortega esta próximo al Compendion de l'abaco de Francés Pellos, una aritmética comercial editada en Turín en 1492 (Malet, 2000: 206; Labarthe, 2004: 88-90).
[4] Estos métodos resuelven problemas de ecuaciones de primer y segundo grado que expresaríamos por la ecuación ax = b, introduciendo una falsa posición x1, que dará b1, y hallan la solución correcta x por proporcionalidad entre esta, x1, b, y b1.
[5] Se trata de una obra muy poco estudiada, únicamente se documenta una breve aproximación a la misma en Paradis/Malet (1989: 239-240) y en Meavilla (1993).
[6] Donde alcanzó el título de Bachiller y abrazó la carrera eclesiástica (Leal y Leal, 1971: 17) que culminará —ya muy anciano— como canónigo de la catedral de Granada.
[7] Véase el prólogo de la Arithmética práctica y speculativa (1562: XIII-XV) que realiza el maestro Venegas “Al benévolo y pío lector”.
[8] Para más información, léase Valladares Reguero (1997: 389); López Piñero et al. (1983); Navarro Brotóns et al. (1999).
[9] De ahí que el catedrático de Retórica de la Universidad de Salamanca Francisco Sánchez de las Brozas, conocido como «el Brocense», comente en la introducción del libro séptimo de la Arithmética de Moya que “teniendo todos tan abierto el camino para aprenderla que nadie pueda pretender ignorarla, pues el Bachiller Juan Pérez de Moya tanto ha trabajado en esta arte, para que nadie tenga trabajo en saberla” y, del mismo modo, Menéndez Pelayo (1954: 258) afirma que “Moya fue un vulgarizador incansable de las ciencias exactas y sus aplicaciones, exponiéndolas con singular método, elegancia y claridad”.
[10] “Cidade emperatória no século XVI, chamada Salácia, no tempo dos Romanos” (Ventura Sousa, 1985: 15).
[11] Afirma Ventura Sousa (1985: 15) que “nos trabalhos editados em Coimbra designase habitualmente” de este modo.
[12] Es considerado por Picatoste (1891: 219) “como uno de los primeros matemáticos del siglo XVI y como uno de los que más trabajaron por el progreso de todas las ciencias en la teoría y en la práctica”. También Rey Pastor ensalza su labor intelectual, considera que Pedro Núñez “enriqueció la matemática con varias ideas verdaderamente geniales, que lo colocan a una altura inmensa sobre los demás matemáticos españoles y portugueses de aquella época, y quizás de todos los tiempos” (1926: 115). Leitão afirma que “foi um dos matemáticos europeus de maior fama no século XVI” y que “em practicamente todos os grandes matemáticos, astrónomos e cosmógrafos da segunda metade do século XVI e do século XVII é possível encontrar, se não referências directas ao trabalho de Pedro Nunes, pelo menos alguns traços da sua influência” (2010: 9).
[13] Una de sus contribuciones más importantes a la ciencia fue la creación del instrumento conocido como Nonius y de la curva loxodrómica vinculada a la navegación.
[14] “Una en casa de Steelsio y otra por los herederos de Arnaldo Birkman” (Picatoste, 1891: 221).
[15] Estudiada por Mancho Duque (2014 y en prensa).
[16] “Pour Nunes, l'algèbre apparaît comme un art qui permet de résoudre dans un language qui lui est propre des problèmes de natures différentes, géométrique ou arithmétique” (Labarthe, 2012: 212).
