LA GEOMETRÍA EN EL RENACIMIENTO ESPAÑOL: INTRODUCCIÓN

Francisco Javier Sánchez Martín

1. La relevancia de la ciencia geométrica en el siglo XVI

La visión y el conocimiento de la actividad científica española del Renacimiento han cambiado en las últimas décadas gracias a los profesionales de la historiografía de la ciencia, que se han ocupado de la reconstrucción de los saberes científicos y del análisis de “las complejas interacciones entre los condicionamientos socioeconómicos, políticos y culturales y la variable autonomía del cultivo de la ciencia” (López Piñero 1999: 308).

España no permaneció al margen de los avances de la ciencia y la técnica en la época moderna. El prestigio de nuestros científicos y técnicos es reconocido (Juan Pérez de Moya, Rodrigo Zamorano, Jerónimo Girava, Pedro Núñez, Juan de Ortega, Andrés García de Céspedes, Cristóbal de Rojas, Juan de Arfe, Pedro de Medina, Alonso de Santa Cruz, etc.) y el nivel que alcanzaron sus obras es elevado.

El contexto del desarrollo de la ciencia moderna es el urbano: se produce en núcleos de población que experimentan un auge destacado durante el siglo XVI. La villa de Madrid, sede estable de la corte real bajo el reinado de Felipe II, se convirtió en escenario principal del progreso científico, sobre todo, gracias a la función desempeñada por el monarca. La relevancia de España en este desarrollo viene dado por su condición de primera potencia y por el interés de la monarquía hispana por dar solución a los problemas que se le presentaban derivados de su condición hegemónica. Para ello se sirvió de un instrumento valioso y utilitario, ante todo: la geometría. Los resultados alcanzados estuvieron propiciados por esta unión establecida entre ciencia y corte.

En este sentido, la geometría se consolida como la gran disciplina que articula los saberes matemáticos en el Siglo de Oro. Esta ciencia facilitó sus fundamentos y cedió sus axiomas, postulados y propiedades a los técnicos y artistas de este periodo para que pudieran construir, mejorar y utilizar los instrumentos necesarios para elaborar complejos proyectos y realizar numerosas obras de ingeniería civil y militar (Vicente Maroto y Esteban Piñeiro 2006²).

Hay que señalar, sin embargo, que la profesión de «matemático» no llegó a definirse claramente en la sociedad española del Renacimiento, sino que comenzó a constituirse desde entonces, por ello resulta precisa la consideración de que, en realidad, los arquitectos, ingenieros, astrónomos o cosmógrafos que contribuyen al avance de sus respectivas artes y ciencias fueron esencialmente geómetras de sólida formación (Esteban Piñeiro y Salavert Fabiani 2002).

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2. Los centros de cultivo de la geometría

La disciplina geométrica se cultivó tanto en las universidades, como en las instituciones que se fueron creando a lo largo del siglo XVI para la formación de los ingenieros.

La universidad renacentista, sobre todo los estudios generales salmantino, alcalaíno, valenciano y vallisoletano, realizó su particular aportación a la “revolución científica”. En los centros universitarios españoles se atendió el cultivo de las disciplinas científicas y, entre ellas, las matemáticas. Para ello se fundaron cátedras de matemáticas en las que, bajo la concepción cuadrivial del saber, se impartían astronomía, astrología y geometría, principalmente. Conviene recordar que durante el reinado de Felipe II ser matemático comprendía todo aquel que se aplicaba a la aritmética, geometría, astronomía y cosmografía, de ahí que en la mayoría de los centros universitarios se exigiera, como mínimo, los conocimientos de los Elementos de Euclides, así como la lectura de la astronomía ptolemaica y la Sphera de Sacrobosco.

Por otro lado, El Escorial, con su importante biblioteca y gabinete, y la Academia Real Matemática fueron otros centros desde los que se impulsó el conocimiento y desarrollo científicos.

Una gran parte de la ciencia producida en la Europa Moderna se realiza en la Corte, centro fáctico del poder, adonde llegaron todo tipo de ingenieros y científicos, contratados para servir a los intereses de la monarquía hispánica. El Escorial funcionó como el gran centro de recepción y difusión del conocimiento, cuya biblioteca albergó los mayores tesoros de la ciencia coetánea. El rey encomendó a Benito Arias Montano la tarea de adquirir obras en las imprentas europeas más prestigiosas, fundamentalmente la de Plantino, cuya contribución fue decisiva en el desarrollo de la cultura científico-técnica del Occidente europeo. Pero además de depósito librario, la biblioteca filipina se concibió también como gabinete científico, de modo que fueron numerosos los objetos y aparatos científicos que se compraron con destino a sus salas. En este sentido, debe señalarse la importante actividad comercial de cartas, globos terrestres y celestes de Geografía e instrumentos de Astronomía. En concreto, Voet (1992) nos informa del envío a España, especialmente desde Amberes, de láminas, tarjetas geográficas y atlas, globos e instrumentos matemáticos (cuadrantes y astrolabios) con destino a la Biblioteca Real del Escorial. El comercio de estas piezas científicas estaba en sintonía con la nueva atención que suscitaba el valor de los datos que éstas aportaban, y tenía reflejo en el creciente interés por la mecánica y el instrumental científico.

Por su parte, la Academia Real Matemática fue fundada por Felipe II en 1582 –con el consejo de Juan de Herrera– a imitación de la academia de cosmografía lisboeta. La escasez de técnicos, junto con la especial formación que estos requerían y que sólo podía adquirirse en centros de enseñanza especializada, forzó la prerrogativa del poder real de crear una infraestructura matemática a todas luces necesaria para poder desarrollar y solucionar los proyectos científico-técnicos que se le presentaban. Nos referimos, principalmente, a las misiones relacionadas con la navegación –y temas asociados a ella– y con la guerra.

En esta academia se depositaron todos los esfuerzos para poder formar a los futuros profesionales de las distintas ciencias, artes y técnicas, especialmente, los nuevos cosmógrafos, aunque de sus enseñanzas participaron la ingeniería militar y la fortificación durante una breve etapa; con el trasfondo de la geometría como saber esencial y fundamento de todas ellas. Además, resulta de fundamental importancia el hecho de que las lecturas se realizasen en castellano. Frente a la vigencia del latín en las universidades, esta institución se caracterizó por utilizar el castellano: “Y porque la intención de Su Magestad, en aver mandado fundar esta Academia Mathemática en vulgar, ha sido para que, en beneficio y ennoblezimiento de sus reynos, aya en ellos professores consumados de todas las disciplinas y artes sobredichas” (Herrera 1584: fol. 19r).

Por último, la necesidad de diversos profesionales impulsó, en el siglo XVI, la creación de escuelas para su formación en los distintos oficios técnicos; si bien, de las profesiones técnicas, las relacionadas con la milicia o la artillería fueron las que mayor interés despertaron. Así, a mediados del siglo XVI aparecieron escuelas de ingeniería militar en distintas ciudades españolas: Burgos, Barcelona, Milán, Mallorca y Sevilla, donde se fundó la escuela de artillería bajo la instrucción de Julián Ferrufino.

Con el funcionamiento de la Academia Matemática, juntamente con la creación de las escuelas militares, España dio un paso firme hacia la institucionalización del ejercicio profesional de técnicos e ingenieros del Siglo de Oro. Ciencia y Corte se convertirán en dos términos íntimamente unidos a lo largo de este período histórico, unión que determinará, en consecuencia, la obtención de resultados en materia científica.

La divulgación de la ciencia, en paralelo con la vulgarización de los contenidos especializados, rasgos caracterizadores de la modernidad, fueron dos de los objetivos que se pretendían alcanzar con la apertura de las lecturas en la Academia matemática. Por decisión real, estas lecturas públicas debían realizarse en castellano con el fin de salvar las dificultades que imponía el latín, única lengua en la que estaban impresos los textos. Al tiempo, se promovía la traducción de obras científicas a nuestra lengua necesarias para la Academia, motivo por el cual se requería de una persona, como Ambrosio Ondériz, que dominara el latín y el griego y poseyera, asimismo, amplios conocimientos matemáticos. En el idioma vernáculo se redactaron, igualmente, valiosos tratados originales para difundir e incentivar la actividad científica y profesional.

No obstante, la mentalidad de la época y las crisis económicas a las que no era ajena la sociedad del momento, impidieron el desarrollo de un importante proyecto: la institución de escuelas matemáticas en las principales ciudades del reino, propuesta impulsada por Juan de Herrera que fue rechazada sistemáticamente por las Cortes pese a contar con el favor real (Esteban Piñeiro 2002-2003 y Yeves Andrés 2006).

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3. La excelencia de los saberes geométricos

Durante el reinado de Felipe II, el profesional de las matemáticas se dedicaba a la Aritmética, Geometría, Astronomía y Cosmografía. El cultivo y el grado de aceptación de una ciencia, en nuestro caso la matemática, están relacionados directamente con la idea de excelencia, al mismo tiempo que refleja la consideración social de que disfrutaba en ese preciso momento histórico. Las Matemáticas son consideradas las ciencias dignas de la mayor estima, precisamente, por una de las cualidades que se presupone innata a los principios matemáticos: su certidumbre. Por tanto, la geometría, paradigma del saber cierto y seguro, se erige en herramienta utilitaria.

La excelencia de los saberes geométricos es reconocida por los autores en los prólogos y dedicatorias de sus obras. En los textos de arquitectura, escultura, arte militar, fortificación y en los mismos tratados de matemáticas encontramos muestras significativas de la importancia de esta disciplina matemática para la resolución de los problemas de distinta índole.

La sciencia de Geometría es una de las siete artes liberales, muy necessaria a todos los oficiales mecánicos, ca, si no tienen parte en ella, no pueden ser bien resolutos en sus artes. Es la Geometría instrumento que mucho ayuda a comprehender todos los saberes del mundo (Diego de Sagredo, Medidas del Romano, 1526: 13).

Por tanto, Platón mandó escrevir sobre la puerta de su escuela que ninguno fuesse osado de entrar a oýr sin que primero fuesse instruto en las sciencias de Geometría y Arismética, que es arte de contar, porque es tan grande el parentesco que tiene la una con la otra, que ninguno puede ser buen geómetra si no sabe contar, ni aún se puede llamar hombre, según parece por el mesmo Platón, el qual, seyendo preguntado por qué el hombre es animal tan sabio, respondió: «Porque sabe contar». En estas dos sciencias se contienen muchos secretos y grandes sotilezas (Diego de Sagredo, Medidas del Romano, 1526: 13).

Y si, para justificar el mío y merecer la aprovación del que de Vuestra Magestad espero, tuviera esperiencias heredadas de que poderme valer y no el fundamento de la Geometría y Arismética, sobre que está fundada gran parte de la Arte Militar, ni el trabajo que he puesto en sacar de varios autores las partes que pueden componer un perfeto capitán, reduziendo a demonstración matemática el uso de la artillería, negocio, aunque emprendido por muchos buenos ingenios de diferentes naciones, nunca llegado al cabo por alguno d’ellos (...) (Diego de Álaba y Viamont, El perfeto capitán instruido en la diciplina militar y nueva ciencia de la Artillería: IIv).

Y assí, concluyo que la experiencia y la Geometría son muy necessarias para la guerra y fortificación, pues dize Vegesio, De re militari, que el hombre experimentado en la guerra no tiene el peligro de entrar en ella, porque, estando apercebido de sciencia y esperiencia, tendrá la significación del arte y lo significado d’él (Christóval de Rojas, Compendio y breve resolución de fortificación, 1613: 4v).

El modo como se a de hazer un puerto en otro lugar se a tratado, conforme a las más opiniones de los que tal arte professan. Y este exercicio era antiguamente de los architectos, y hoy día de los que el vulgo llama ingenieros y, por mejor dezir, de los que se hazen llamar ingenieros. (...) Antes, digo que es un abuso muy grande y un error muy manifiesto, y digo que el que quisiere ser buen ingeniero, conviene que sea arquitecto y entienda Architectura y Geometría. (Juanelo Turriano, Los veinte y un libros de los yngenios y máquinas, 1605: 418r-418v).

Después de haver tratado, studioso lector, el uso vulgar de los números, me paresce que éste es conveniente lugar para scrivir algunos generales y fáciles preceptos de Geometría, pues sin ellos, no solamente faltaría luz a lo que al delante yo entiendo scrivir en Geographía o en Astronomía, más ahun con grande difficultad se podría tratar algo en estos estudios de Mathemáticas (Hierónimo Girava, Los dos libros de la Geometría práctica de Oroncio Fineo, 1553: 11).

Especialmente, como hemos comprobado en la literatura científica de la época, se apela al conocimiento de los Elementos euclidianos como base principal para la mayoría de las artes renacentistas. La influencia del matemático griego se constata en obras de diversas parcelas especializadas, principalmente, en las de geometría aplicada, que representa, posiblemente, la corriente más importante en la matemática del Renacimiento.

Todos los tratados examinados incorporan aspectos relacionados con la geometría, y no porque se considere un elemento accesorio, sino porque constituye una herramienta imprescindible para el manejo de los conocimientos que enseñan en sus obras. Estos textos, como los dos libros de geometría de Oroncio Fineo traducidos por Girava, nos muestran las dificultades de trasladar al castellano los conceptos, ante todo, por la falta de una terminología geométrica en lengua castellana.

En consecuencia, el análisis de los contenidos insertados en las obras de geometría, construcción, fortificación y arte militar nos permite contemplar los conceptos geométricos que se desarrollan y el léxico especializado que se emplea. Ello facilita, finalmente, dibujar el vasto y rico panorama del desarrollo de la geometría práctica en el Renacimiento hispano.

4. Fuentes: Obras y autores más significativos

La producción de obras impresas de contenido geométrico editadas en el ámbito hispánico corresponde, esencialmente, a obras de geometría aplicada, lo que corrobora la importancia de esta vertiente de la matemática española en el periodo renacentista.

El propósito de los tratadistas españoles consistía primordialmente en la formación y preparación de técnicos, así como la difusión de los conocimientos prácticos entre los diferentes profesionales: mecánicos, arquitectos, ingenieros, soldados, agrimensores, sastres, etc.

Realizaremos una revisión sintética de los contenidos geométricos y de la distribución de los mismos que presentan, tanto las obras matemáticas (esencialmente libros de geometría), como los tratados de otras materias que incorporan aspectos inherentes a dicha ciencia, principalmente los relativos a las áreas de la construcción, el arte militar y la fortificación. Todos ellos conforman el corpus textual de nuestro Glosario de Geometría Aplicada del Renacimiento.

4.1 El área de las Matemáticas

4.1.1 Jerónimo Girava

Por lo que respecta al área de las Matemáticas, destaca uno de los tratados de geometría práctica más importante de este periodo: Los dos libros de la Geometría práctica de Oroncio Fineo. En esta obra, traducida por Jerónimo Girava, se ofrecen las definiciones de figuras planas y sólidos, se exponen las medidas de alturas, distancias y profundidades, se precisa el cálculo de superficies y volúmenes y se explica con detalle el uso de diversos instrumentos de medición, como el cuadrado geométrico, el cuadrante o el báculo de Jacob.

En el prólogo, dirigido al joven príncipe Felipe II, el matemático Jerónimo Girava manifiesta su propia concepción de la finalidad de las traducciones, que no es otra que verter en lengua castellana los tesoros antiguos, obras –como esta geometría que a él le ocupa– «de peso y tomo». Girava reconoce de forma clara la falta de una terminología geométrica en la lengua castellana. De ahí que esta obra sea una rica fuente de neologismos técnicos.

Al comienzo de la obra, el traductor delimita el contenido de los dos libros que la componen: “Trátase en estos dos libros de Geometría prática. En el primero, de los principios más comunes y más fáciles de Geometría que sirven para más fácilmente entender a Euclides. En el sigundo, de las medidas de las líneas, superficies y cuerpos” (Girava 1553: 3).

El primer libro se inicia con un prólogo de Fineo en el que expone la definición y excelencia de la Geometría, como era habitual en la tratadística matemática de toda la centuria. Para él, la geometría resulta ser la más útil de las artes, puesto que es fundamento para el resto de los saberes y técnicas.

En el primer capítulo de este libro desgrana los principios de la Geometría, a partir de los cuales se derivan los teoremas y los problemas: 1. demandas, 2. axiomas o sentencias e 3. hipótesis.

En los restantes capítulos presenta los elementos básicos de la geometría plana euclidiana y desarrolla los conceptos geométricos:

1. De la figura y sus límites.
2. De la general discriptión de las figuras y tanvién de las figuras llanas, tanto sinples como conpuestas.
3. De los ángulos, ansí llanos como sólidos.
4. Cómo se ha de considerar la quantidad de los ángulos rectilíneos.
5. De las llanas y rectilíneas figuras.
6. De las figuras sólidas.
7. De las demandas o peticiones geométricas.
8. De los axiomas, que son como dichos o sententias conocidas.
9. Cómo se an generalmente los círculos con las espheras.
10. De las medidas que por la mayor parte usan los geómetras.
11. De los senos rectos y bersos, o bien de las líneas derechas que en el quadrante del círculo s’estienden.
12. Cómo se a hecho la tabla de los senos y cómo por la misma tabla se pueden allar, ansí los senos de los arcos como los arcos de los senos.
13. Cómo, por la tabla de los senos, se puede conponer la tabla de los arcos que dicen del primer móvile.

Comienza por el punto, la línea y la superficie. El límite es el extremo de cualquier figura. El punto es límite por sí, los límites de las líneas son los puntos y los límites de las superficies son las líneas.

La clasificación de las líneas (derecha, oblicua o tuerta), de las superficies (superficie llana y concorvada) y de las figuras (las llanas y superficiales –como el círculo y las compuestas y mezcladas–, y otras que, por ser corporales y firmes, se llaman sólidas)

Continúa con la clasificación de los ángulos según la posición de las rectas y según la abertura.

Aborda, seguidamente, la clasificación y definición de los polígonos, las figuras rectilíneas:

1. Triángulo o trilátero
   - Tipos según sus lados:
   1. Equilátero
   2. Isósceles
   3. Escaleno
   - Tipos según sus ángulos:
   1. Rectángulo
   2. Acutángulo o oxigonio
   3. Ambligonio
2. Figuras cuadriláteras y cuadrangulares
   1. Paralelogramos
   1. Cuadrado
   2. Cuadrado prolongado
   3. Rombo
   4. Romboide
   2. Otras figuras cuadriláteras: figuras trapecias
3. Figuras multiláteras o multiángulas

Ya en el capítulo de las figuras sólidas, distingue entre: esfera, orbe, otras figuras sólidas, pero irregulares: la figura oval, y “otras muchas diversidades de sólidas figuras s’entienden nascer de las llanas y rectilíneas, rebueltas una vez alderredor, estando siempre el uno de los lados o límites firme y quedo” (es decir, el cubo, el cilindro, la pirámide y el cono).

También incluye un capítulo dedicado a las medidas utilizadas por los geómetras, en el que ofrece un listado de las unidades metrológicas: longitud, superficie, unidades agrarias e itinerarias (Sánchez Martín 2006, 2008).

Por su parte, el libro segundo, que trata de las medidas de las líneas, superficies y cuerpos, así como de los instrumentos de medición, está dividido en tres partes. En la primera parte se describe la construcción de diferentes instrumentos (el cuadrado geométrico o el cuadrante del círculo) y la manera de utilizarlos para tomar la medida precisa de las distancias, así como de alturas, anchuras y profundidades, resolviendo problemas cada vez más complicados, lo que prueba el carácter aplicado de los contenidos del texto.

A continuación, se ocupa de las medidas lineales (o longímetras), en primer lugar; las medidas llanas y superficiales (o planímetras), después; y por último, las corporales y sólidas (o solidímetras).

Se detiene también en explicar otros métodos antiguos de medir alturas y profundidades por medio de varas y espejos.

El método de resolución de los problemas planteados es siempre el mismo: construir o representar un triángulo semejante al formado entre el punto de observación y los extremos de la medida que se desea conocer, como señalaron García Tapia y Vicente Maroto (1991: 255).

En la segunda parte trata de la medida de las superficies de las figuras, para lo que describe y define, en primer lugar, todas las figuras recogidas en este segundo apartado, que esquematizamos a continuación:

1. Figuras rectilíneas: triángulos
   1. rectángulo
      1. isósceles
      2. escaleno o desigual
   2. obtusángulo (ambligonio)
      1. ambligonio isósceles
      2. ambligonio escaleno
   3. acutángulo (oxigonio)
      1. oxigonio isósceles
      2. oxigonio escaleno
      3. oxigonio equilátero
2. Figuras cuadriláteras
   1. figuras paralelogramas
      1. cuadrado
      2. cuadrilátero
      3. rombo
      4. romboide
   2. figuras trapeciaso mesillas
      1. trapecio isósceles
      2. trapecio rectángulo
      3. trapecio ambligonio
3. Figuras multiláteras y multiángulas (más de 4 lados y ángulos): pentágono, hexágono, heptágono, octógono, etc.
   1. regulares
   2. irregulares
4. Círculo y sus partes: semidiámetro, semicírculo, cortador del círculo, pedazo de círculo y figura lenticular.

Por último, incorpora las medidas de los cuerpos sólidos, para lo cual describe en esta parte final de su obra todas las figuras sólidas. Veamos un esquema de los contenidos que va a desarrollar:

1. Figuras sólidas rectángulas: el cubo
2. Columnas'cuerpos'
   1. cilindro
   2. columna triangular o prisma
   3. pirámide
      1. pirámide regular
      2. pirámide irregular
   4. piñao cono, o pirámide redonda
   5. pirámide equilátera (tetraedro)
3. Cuerpo redondo: la esfera
4. Resto de cuerpos regulares (esto es, los poliedros)
   1. tetraedro
   2. cubo (o hexaedro)
   3. octaedro
   4. dodecaedro
   5. icosaedro
5. El romboy el romboide

A la vista de los contenidos desglosados, podemos considerar Los dos libros de la Geometría práctica de Oroncio Fineo, traducidos por Jerónimo Girava, como un excelente tratado sobre los principios básicos de la geometría euclidiana, especialmente sobre la construcción y uso de los diferentes instrumentos de altimetría y longimetría utilizados en esta época. Son muy útiles para el estudio del léxico matemático. Esta obra es la primera traducción al castellano que trata de divulgar los conocimientos de tipo geométrico, puesto que la primera traducción de los Elementos de Euclides, debida a Rodrigo Zamorano, no apareció impresa hasta 1576.

4.1.2 Juan Pérez de Moya

La obra de Fineo ejerció una influencia destacada en otros tratados de geometría posteriores escritos por matemáticos españoles, como reconocen expresamente sus autores. Es el caso del bachiller Juan Pérez de Moya, quien cita frecuentemente al matemático francés.

Juan Pérez de Moya es autor de diversas obras científicas con las que desarrolló una importante labor de divulgación de los saberes matemáticos (cálculo mercantil, álgebra, geometría, astronomía) en la España de su época: Arithmética práctica y speculativa (Salamanca, 1562), Fragmentos mathemáticos, en que se tratan cosas de geometría, astronomía, geografía, philosophía natural, sphera y astrolabio, navegación y reloxes (Salamanca, 1568), Tratado mathemáticas en que se contienen cosas de arithmética, geometría, cosmographía y philosophía natural (Alcalá de Henares, 1573) y Manual de contadores (Madrid, 1589).

Su obra más importante, Arithmética práctica y speculativa (1562) alcanzó numerosas ediciones e incluso fue aconsejada por el matemático Stevin para el estudio de la regla de tres y la extracción de la raíz cúbica, como señala Rey Pastor (1926: 104). Pero de ella nos interesa especialmente el breve cuarto libro en el que trata de algunas reglas de geometría práctica útiles para medir heredades. En su capítulo primero realiza una genealogía de la Geometría y pasa, seguidamente, a enumerar y definir los fundamentos de la ciencia geométrica: punto, línea, superficie y cuerpo.

El segundo capítulo lo dedica a definir las figuras geométricas y sus partes (diámetro, semidiámetro, porción circular mayor y porción circular menor). Comienza por el círculo por ser “la primera de las figuras geométricas, y más noble y capaz”, para continuar con las figuras de tres lados y las figuras de cuatro lados (el cuadrado y el paralelogramo, y las figuras helmuayn y helmuarife).

Finaliza el libro con el capítulo tercero que destina a mostrar la manera de medir las tierras, por lo que aplica la geometría a la medida de tierras de diversa extensión y figura geométrica.

4.1.3 Juan Alfonso Molina Cano

Nació en Villanueva de la Serena y desde joven se dedicó a la vida militar y al servicio de la Corte. Fue un geómetra autodidacta. Según Picatoste (1891), prestó servicios militares en Flandes, donde aprendió italiano y francés y se dedicó a cultivar su afición a las matemáticas, como reconoce él mismo en la dedicatoria Al lector geométrico de su obra Descubrimientos geométricos, publicada en Amberes en 1598. Ésta, en efecto, aparece dirigida a Don Diego de Ibarra, Veedor General de los estados de Flandes y Mayordomo del Archiduque Alberto. Esta obra geométrica fue traducida al latín por Nicolás Jansonio en 1620: Nova reperta geometrica... Hispanice edita, jam vero latinitate donata Molina Cano. Arnhemii, Venneunt apud Johannem Jansonium, 1620.

Rey Pastor (1926: 15-16) señala que Juan Alfonso Molina Cano “corrigió a Euclides, dio relaciones que por singular manera facilitan y abrevian las construcciones de los polígonos regulares, y empleó una razón de la circunferencia al diámetro que no era exactamente la tradicional de Arquímedes; siendo sus procedimientos adoptados por muchos matemáticos franceses”.

El extremeño organizó el contenido de su obra en veintidós descubrimientos y otros tantos corolarios, en los que recogió la materia siguiente:

De oy más no carescerá el mundo de lo que antes ignorava: de la sciencia de la duplicación del cubo, quadratura del círculo, rectitud del ángulo del semicírculo, el ser linia recta y curva entre sí yguales, y desde dónde comiença a convertirse lo curvo en recto, y el ser finito el valor de los ángulos, y desde dónde lo vienen a ser, con celestes correlarios que de sus demostraciones resultan, según podrá ver el especulativo geométrico en el discurso d’estos mis veyntidós descubrimientos (Molina Cano 1598: IIv).

Ahora bien, Rey Pastor (1926) se muestra muy crítico respecto a este texto en algunos puntos, ya que, a su juicio, contiene algún dislate desde el punto de vista geométrico –la cuadratura del círculo es acometida en el descubrimiento 19 y sus corolarios– y errores en la interpretación de Euclides.

4.1.4 Juan de Ortega

Fray Juan de Ortega es otra gran figura de la matemática europea de la primera mitad del siglo XVI. El dominico palentino se educó en el convento de San Esteban de Salamanca, donde compartió las aulas salmantinas con Sánchez Ciruelo, entre otros. Acabados sus estudios se trasladó a Italia y, quizás, a París. Regresó posteriormente a Salamanca, donde ocupó, desde 1508, la cátedra de filosofía natural. Enseñó aritmética y geometría en España e Italia durante años, privada y públicamente. Su principal obra fue publicada en 1512, con el título de Compusición de la arte de la Arismética y de Geometría, y consiguió merecida fama en toda Europa, como prueban las numerosas ediciones que alcanzó. Se trata de uno de los primeros libros españoles de cálculo mercantil de principios del XVI, de fácil manejo y comprensión, con el que pretende evitar los fraudes con las cuentas habituales en la época.

Por tanto, inauguró un género, el de los libros de cuentas, que se inserta en la corriente de mayor importancia de aplicación práctica de las matemáticas, la consagrada al cálculo mercantil. Otra muestra ejemplarizadora de la importancia de esta vertiente aplicada en el siglo XVI es el Manual de contadores (Madrid, 1589) de Juan Pérez de Moya, manual de cálculo de patente carácter divulgador.

En la última parte de su tratado Juan de Ortega declara «el modo y manera en que se ha de fazer qualquiera regla de Geometría por diversos argumentos» y aborda la Geometría aplicada a la medida de tierras de diversa extensión y forma geométrica:

Enxemplo quarto de triángulo.

Es una tierra que está puesta en manera de triángulo, la qual tiene por los dos lados, por cada uno d’ellos, 30 canas, y por la faz baxera 16, y por el pendicular o longueza 29 canas. Demando que quántas canas tendrá la tal tierra.

Farás ansí: toma la mitad de los 16, que es la parte baxera, y multiplica con ellos todas las canas que tiene el pendicular, y montarán 232 canas, y tantas tendrá la tal tierra (Ortega 1512: fol. 195r).

4.1.5 Juan de Alcega

El carácter práctico de los conocimientos matemáticos permitió su aplicación a una disciplina como la sastrería, puesto que para el ejercicio de este oficio constituía un requisito imprescindible el manejo de la materia geométrica.

Juan de Alcega, natural de la provincia de Guipúzcoa, es el autor en lengua castellana de la primera geometría para sastres titulada Libro de Geometría prática y traça, el qual trata de lo tocante al oficio de sastre (1589), obra que supone la primera incorporación de los saberes matemáticos a una práctica artesanal, de ahí que se convirtiera en el referente esencial para el aprendizaje del oficio sartorial al servir de modelo a aquellos candidatos que deseaban obtener el nivel superior en la corporación gremial.

A pesar del evidente avance que supuso para este oficio la aparición de este manual de sastrería, no fue posible evitar el surgimiento de polémicas en torno a su consideración científica, sobre la base de dos hechos concretos: la carencia de cualquier explicación teórica sobre los elementos geométricos y la falta de aclaraciones en torno a cómo se aplica esta geometría al proceso de elaboración de las distintas piezas.

El sastre guipuzcoano dividió su libro en tres partes y concede gran primacía a las matemáticas para lograr sus objetivos, como él mismo explica:

En la primera parte trata cómo se reduzirán todos los paños y telas anchas en otros paños o telas más angostas, aprovechándome para este efeto de muchas reglas del Arithmética para hazer estas reduciones ciertas y verdaderas. Y en la segunda parte está la Traça d’este libro, que son muchos géneros de vestidos, assí de hombres como de mugeres, los quales están traçados en este libro por buena orden y concierto, rigiéndome para la dicha traça por la Geometría y pitapié. Y en la tercera parte están unas tablas no menos necessarias para los oficiales d’este arte, que por ellas se sabrá el paño o seda, o otra qualquier tela de qualquier anchura, que será menester para las ropas que en las dichas tablas se contienen (Alcega 1589: IIIv).

En fin, en la Geometría prática y traça de Juan de Alcega vemos ejemplificada la corriente relativa a la producción de textos de geometría aplicada a las cuestiones artesanales, como es la geometría de sastres.

4.1.6 Pedro Núñez Salaciense

Pedro Núñez Salaciense fue un matemático y cosmógrafo portugués que estudió en Lisboa lenguas, filosofía, medicina y también matemáticas, probablemente en la Universidad de Salamanca. En Lisboa, en 1529, fue llamado a desempeñar las funciones de Cosmógrafo del Reino y ocupó la cátedra de Matemáticas en Coimbra en 1544, si bien tuvo que repartir su actividad entre Coimbra y Lisboa para poder cumplir con sus obligaciones de cosmógrafo.

Entre sus intereses científicos destacan la cosmografía y arte de la navegación, por una parte, y las investigaciones matemáticas, por otra.

Para cumplir con sus tareas como cosmógrafo, publicó una serie de tratados en 1537: Tratado da Esfera, Teoria do movimento do Sol e da Lua, Tratado de Geografia de Ptolomeu, Tratado de algumas duvidas da navegação, Tratado em defensam da carta de marear. Los tres primeras obras son traducciones del latín al portugués de las obras de Sacrobosco, Purbachio y Ptolomeo.

Por lo que respecta a su dedicación matemática, escribió un opúsculo titulado De erratis Orontio Finei (1546), cuyo propósito era demostrar los errores de Oroncio Fineo, y el Libro de Álgebra en Aritmética y Geometría (Amberes, 1567), obra que tenía escrita hacía treinta años en su lengua materna, pero que traslada a la lengua castellana al considerar que

mas despois, considerando que ho bem, quanto mais commun e universal, tanto hé mais excellente, e porque a língoa castelhana hé mais commum em toda Espanha que a nosa, por esta causa a quis trasladar em língoa castellana para nella se aver de imprimir, porque nam careça della aquella naçaõ tanto nosa vizinha, com a qual tanto communicamos e tanta amizade temos (Núñez 1567:IIIr-IIIv ).

Para componer esta aritmética algebraica, Núñez se inspiró en las obras más importantes de los algebristas anteriores a su tiempo, especialmente, en la Summa de Arithmetica de Luca Pacioli, en la Practica Arithmeticae de Cardano y en el Algebra de Tartaglia.

Del análisis de este libro, podemos concluir que solamente se ocupa de la Geometría en el último capítulo de la tercera parte de la obra, dedicado a la práctica del álgebra a algunos casos de geometría, centrándose sobre todo en el cálculo de las áreas de distintas figuras geométricas, especialmente, triángulos, cuadrados, cuadrángulos, rombos, trapecios, pentágonos y otras figuras multiláteras.

Mostramos, a continuación, una selección representativa de los epígrafes de algunos casos que expone el matemático portugués en dicho capítulo dedicado a la geometría:

1. Si el lado del quadrado fuere conoscido, la área será también conoscida.
15. Si en el quadrángulo rectángulo no quadrado los dos lados que comprehenden el ángulo recto fueren conoscidos, la área será conoscida.
32. Si los tres lados del triángulo fueren conoscidos, por ellos conosceremos si es rectángulo, o si es obtusiángulo o si es oxygonio.
34. Si los tres lados del triángulo fueren conoscidos, la área será conoscida por noticia del catheto; y si los lados del triángulo equilátero fueren números, la su área no podrá ser número, en lo que se engañó Oroncio.
48. Si las partes de la base del triángulo adonde cae la perpendicular fueren conoscidas y la differencia de los dos lados fuere conoscida, cada uno de los lados será conoscido.
69. En el romboide, si los dos lados que conprehenden el ángulo y el diámetro fueren conoscidos, la área será conoscida.

En resumen, el matemático portugués, conforma junto con Marco Aurel y Juan Pérez de Moya un grupo selecto de cultivadores de la aritmética algebraica en la España del siglo XVI.

4.2 Otras áreas científico-técnicas

Una característica común a todos los tratados de construcción, fortificación o arte militar que contienen aspectos relativos a la geometría es la inclusión, en un capítulo o en una parte completa de los mismos, tanto de los términos geométricos, como de las definiciones de los conceptos correspondientes. Estos contenidos resultan indispensables para la comprensión de la materia recogida en estas obras y, por consiguiente, imprescindibles para los distintos profesionales a quienes van destinadas.

4.2.1 Construcción

4.2.1.1 Diego de Sagredo

Las Medidas del Romano de Diego de Sagredo son el tratado arquitectónico renacentista más prestigioso y de mayor utilidad para los ornamentistas que tenían que labrar los nuevos motivos estilísticos vigentes a comienzos del siglo XVI.

Además, su tratado es el primero sobre arquitectura clásica publicado fuera de la Italia del Renacimiento, y en él Sagredo incluye un capítulo con los términos y principios de la Geometría necesarios para el arte del trazar:

Porque en las traças que havemos de hazer entrevienen algunos términos de Geometría, como son: líneas, círculos, ángulos, triángulos, quadrángulos, etc., congrua cosa me parece poner la declaración de cada uno d’ellos para mayor execución de nuestras medidas (Sagredo 1526: 13).

Para ello, inserta un listado con los términos geométricos que va a utilizar frecuentemente en su obra y que serán también los más empleados por parte de los profesionales de esta área. Por tanto, el bachiller Sagredo realiza definiciones de los términos técnicos ajustadas a los profesionales para los que escribe.

Incluimos una muestra de los tecnicismos geométricos que define en dicho capítulo:

• Línea recta se llama a todo traço que es derecho.
• Círculo es otra línea que haze una buelta redonda, sin tener principio ni fin, en medio de la qual ay un punto que se dize centro, del qual ygualmente es apartada.
• Diámetro es el traço derecho que parte el círculo en dos metades yguales, el qual, de necessidad, ha de passar por el centro.
• Ángulo es el rincón que se causa del tocamiento de dos líneas, e por su equivocación llamamos al ángulo de dentro ángulo interior, y al de fuera ángulo exterior.
• Triángulo es figura que tiene tres ángulos, el qual puede ser de tres maneras, conviene a saber: ortogonio, ambligonio, oxigonio. Ortogonio se llama quando uno de los tres ángulos es rectángulo; ambligonio, quando es romo; oxigonio, quando todos tres son agudos.

4.2.1.2 Alonso de Vandelvira

Alonso de Vandelvira, hijo de Andrés de Vandelvira, uno de los arquitectos más sobresalientes del Renacimiento andaluz, a quien se deben grandes plasmaciones de la arquitectura del siglo XVI, es más bien conocido y apreciado por su manuscrito de cantería que por su labor como arquitecto.

El Libro de traças de cortes de piedras (ca. 1591) es el tratado más importante de la cantería del Renacimiento español. Con respecto a su contenido, puede apreciarse como un rasgo característico la dificultad que entraña la comprensión de las representaciones geométricas en él plasmadas.

El Libro de traças de cortes de piedras consta de 141 títulos, en los que se describen las operaciones para la labra de la piedra en la construcción de otros tantos modelos de arcos, capialzados, escaleras de caracol y bóvedas.

Nuestro interés se centra en el primer capítulo dedicado a las Definiciones de la traça de cortes, ya que consiste en una pequeña introducción teórica para que el cantero entienda los principios y fundamentos geométricos necesarios para trabajar con la piedra. De este modo, Vandelvira nos proporciona un amplio listado con definiciones de los principales elementos y figuras geométricas, puesto que “las definiçiones sirben de mostrar el ser de la materia sobre que se funda el ser de alguna sçiençia o arte” (Vandelvira ca. 1591: fol. 3r).

Para esta tarea manejó como modelo o autoridad la Geometría del bachiller Juan Pérez de Moya: Obra intitulada Fragmentos mathemáticos, en que se tratan cosas de geometría, astronomía, geografía, philosophía natural, sphera y astrolabio, navegación y reloxes (Salamanca, 1568).

Entre los tecnicismos geométricos que expone el arquitecto jienense destacan los que se adscriben al campo nocional de los elementos de geometría. Así, define el punto y la línea y todos sus tipos: línea recta y línea curva, las líneas paralelas o a trainel, la perpendicular o a plomo y la línea plana o a nivel, juntamente con la espiral y la línea elíaca. También define las líneas que pueden hallarse en los cuadriláteros paralelogramos, esto es, la línea diagonal, así como la que forma parte de los elementos del círculo: la línea diametral, o como él la define, “la línea diámetro del çírculo”.

Pasa, después, a ocuparse de la clasificación de las superficies plana, cóncava y convexa: “Esta superfiçie en la traça es la que pareçe encima de los cuerpos, ya sea plana, ya sea cóncaba, ya sea conbexa” (Vandelvira ca. 1591: fol. 4r). Define tres tipos de superficies planas: el círculo, el semicírculo o «medio círculo» y el arco, que es el fundamento de las trazas, por lo que en su explicación se mencionan algunas de las voces más específicas del corte y labra de piedras.

A continuación, recopila la terminología relativa a la tipología de los polígonos clasificados según sus ángulos, de modo que incluye distintas figuras planas: los triángulos y sus tipos (según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o equicruros o escalenos), los cuadriláteros paralelogramos (quadrado, paralelogramo o quadrado perlogado ‘rectángulo’, rombo) y no paralelogramos («trapeçios que llamamos quadrángulo desigual», esto es, ‘trapezoide’ en la terminología actual), así como otros polígonos: pentágono o cincoavo, hexágono o seisavo, heptágono o sieteavo, octógono u ochavo.

4.2.1.3 Juan de Arfe y Villafañe

Entre 1585 y 1587, Juan de Arfe y Villafañe publicó un tratado artístico de carácter diferente al de otros. El propósito del orfebre leonés era proporcionar un manual útil para arquitectos, escultores y orfebres. Este texto fue el más reeditado de su época, ya que reunió por primera vez en un volumen diversos saberes. La obra de Arfe y Villafañe, redactada en verso y en prosa, es paradigma de la aplicación de geometría. De Varia Commensuración para la Esculptura y Architectura se compone de cuatro libros y los temas que expone son: geometría y relojes solares, proporción y medida de los miembros del cuerpo humano, cuadrúpedos y aves y, finalmente, arquitectura y piezas de iglesia.

Libro primero, trata de las figuras geométricas y cuerpos regulares e irregulares, con los cortes de sus láminas, los reloges orizontales, cylindros y ánulos. Va dividido en dos títulos.

Libro segundo, trata de la proporción y medida particular de los miembros del cuerpo humano, con sus huessos y morzillos, y los escorçcos de sus partes. Va dividido en quatro títulos.

Libros terceros, trata de las alturas y formas de los animales y aves. Va dividido en dos títulos.

Libro quarto, trata de architectura y pieças de Iglesia Va dividido en dos títulos.

Nos centramos en la temática del primer libro, que está didivido en los dos títulos siguientes:

Título primero de las líneas, figuras y proporciones
Título segundo de los cuerpos regulares e irregulares y reloges.

En este primer libro se recoge el arte de labrar oro y plata, para lo que se requiere geometría. El leonés comienza, en el primer capítulo, por incluir los tecnicismos geométricos que se adscriben a los elementos básicos de la geometría: punto, línea (y define sus tipos: línea recta, línea corva o circular, línea torcida, línea perpendicular, línea concurrente, línea oblicua, diagonal, espiral, y las líneas paralelas, por último), superficie (define superficie plana, y se ocupa de la superficie interior y exterior de un cuerpo: cóncava y convexa) y cuerpo.

Define tres tipos de superficies planas: el círculo, el semicírculo y la porción de círculo, así como la división de la circunferencia en partes.

A continuación, estudia las construcciones geométricas, en concreto, el trazado de los distintos polígonos sobre un círculo o una línea: “quadrado formado sobre círculo y quarta parte de circunferencia”, “cómo se forma un quadrado sin círculo”, “triángulo formado sobre línea figura”. Aparece, de este modo, la terminología relativa a la tipología de estas figuras planas: triángulos, los cuadriláteros paralelogramos (el quadrado y el quadrángulo), así como otros polígonos: pentágono, hexágono, heptágono y octógono.

Otra figura plana analizada en un capítulo aparte –el tercero– es el óvalo ‘figura muy parecida a la elipse, pero que se forma con porciones de círculos’. Arfe define esta figura y trata de su construcción con dos círculos y un compás, aparte de indicar todo el procedimiento para el trazo de esta curva cónica.

Otros problemas geométricos que aborda en esta parte de su tratado tienen que ver con las particiones de los círculos y con la duplicación del cuadrado.

Por último, se centra en las operaciones con segmentos (hallar la mediatriz de un segmento dado, como puede verse en la imagen) y círculos (“sacar centros y diámetros a las porciones de círculos”), realizados con la ayuda de dos intrumentos, la regla y el compás.

En el segundo título dedicado a los cuerpos geométricos aparece la terminología relativa a los poliedros regulares. Se registran, así, las unidades léxicas especializadas tetraedro (4 triángulos equiláteros iguales), octaedro (8 triángulos equiláteros iguales), icosaedro (20 triángulos equiláteros iguales), hexaedro (6 cuadrados iguales) y dodecaedro (12 pentágonos regulares iguales), esto es, los cinco sólidos regulares.

Pero, también, aparece la práctica de la construcción de distintos cuerpos de superficies desiguales, es decir, cuerpos irregulares. Finaliza el libro con la formación de los círculos de la esfera y de los relojes horizontales y anulares, con lo que se divulga la terminología implicada.

4.2.2 Arte militar

4.2.2.1 Diego de Álaba y Viamont

Por lo que respecta al Arte militar, debe destacarse El perfeto capitán instruido en la disciplina militar y nueva ciencia de la Artillería de Diego de Álaba y Viamont (1590), por incluir en uno de sus libros un breve listado, a modo de glosario, con términos geométricos.

El arte militar es una disciplina de carácter aplicado cuyos fundamentos son la artimética y la geometría. A finales del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, el arte militar experimentó un notable progreso en consonancia con la hegemonía del imperio español en el territorio europeo, lo que propició, en consecuencia, la proliferación de la tratadística militar, sobre todo de lo que los especialistas denominan como «geometrías militares» o «matemáticas militares», en las que se constata la aplicación de la ciencia geométrica dirigida a resolver problemas derivados de la construcción y las trayectorias de balística, principalmente.

El perfeto capitán se divide en seis libros. El cuarto está dedicado a tratar “todos los géneros de medidas necessarias para el uso de la artillería, con planisferio, astrolabio, quadrante y otros instrumentos matemáticos” y, por tanto, al estudio de la altimetría. Comienza, de este modo, resaltando la importancia de esta parte de la geometría práctica para los artilleros ante la necesidad de medir con total precisión las distancias hasta cualquier objetivo y las alturas para no errar el tiro.

Todo ello se fundamenta en el empleo de la geometría, por lo que este tratado viene a ser una exposición práctica de la geometría euclidiana, puesto que los libros de Euclides se hallan entre las fuentes sobre las que se apoyan los estudios balísticos.

Y, pues, tratar de medir sin saber en quántas partes se dividen las medidas geométricas será proceder con poca distinción, diré brevemente lo que en esto ay, propuestas las difiniciones necessarias para entender los términos matemáticos de que adelante e de usar (Álaba 1590: 189r).

Para este fin, ofrece un listado con los tecnicismos geométricos necesarios para comprender las demostraciones geométricas y el manejo adecuado de los intrumentos que inserta en su discurso. Reproducimos las definiciones de los conceptos geométricos que proporciona el vitoriano:

Triángulo equilátero. Es el que tiene tres lados iguales.

Triángulo rectángulo o ortogonio. Es el que tiene un ángulo recto.

Triángulos equiángulos. Son los que tienen los ángulos iguales uno a uno y otro a otro.

Líneas paralelas o equidistantes. Son aquéllas que, estando en un mesmo plano, si de una y otra parte se tirassen en infinito, en ninguna d’ellas se tocarían.

La línea recta se dize tocar al círculo quando, llevada adelante, no le corta.

Una figura se dize estar descrita alrededor de un círculo quando todos los lados de la figura tocan la circunferencia del círculo.

Paralelogramo. Es una figura de quatro lados en la qual cada dos lados contrarios son paralelos.

Línea visual. Es una línea imaginaria que se figura salir del ojo del que mide y se termina en el ojo que se mira.

A continuación, agrupa todas las medidas geométricas en altimetría, planimetría y estereometría, según la clasificación habitual establecida en los tratados geométricos de la época, y da una relación de 19 unidades metrológicas utilizadas por los autores latinos. Cada uno de los términos métricos va acompañado del equivalente “en nuestro lenguaje vulgar” y de su valor mediante la correspondiente definición.

Viamont finaliza su tratado con dos aspectos que prueban la alta especialización de sus contenidos; así, el libro quinto trata de la nueva ciencia de la artillería y de las teorías de Tartaglia (“Libro quinto, en que se trata de todos los instrumentos necessarios para el uso de la artillería y del modo de hazer tablas para tirar con ella, conforme a la dotrina de Nicolo Tartalla”) y el sexto de la refutación de algunos errores cometidos por el matemático italiano (“Libro sexto, en que se reprueva la dotrina de Nicolo Tartalla y se enseña la verdadera, con las demostraciones en que se funda, y lo que se a de seguir en hazer tablas para el uso de la artillería”).

4.2.2.2 Julián Ferrufino

Dentro de esta parcela científica, debemos considerar los contenidos geométricos plasmados en la Descrizión y tratado muy breve y lo más probechoso de artillería de Julián Ferrufino.

El matemático, ingeniero y jurista Julián Ferrufino cursó estudios de Leyes y Matemáticas en Milán, así como balística en esta ciudad y en Roma. En 1574 fue llamado por Felipe II para explicar matemáticas en la Escuela de Artillería de Burgos, y más tarde en la Academia de Artillería de Sevilla. En 1595 fue nombrado catedrático de Matemáticas de la Academia Real Matemática, institución en la que durante su cargo se imprimió una nueva orientación a las enseñanzas, que se centraron en materias complementarias a las matemáticas, con el fin de orientar la formación hacia lo militar. El único trabajo suyo de que se tiene noticia es Descrizión y tratado muy breve y lo más probechoso de artillería, manuscrito conservado con fecha de 1599 que no se llegó a imprimir.

Los folios iniciales de este manuscrito contienen unos principios de geometría que incluyen las definiciones de Euclides y unas figuras geométricas perfectamente dibujadas. Esta traducción de los elementos geométricos de base euclidiana se interrumpe a partir del folio quinto vuelto para tratar, a partir de ahí, de artillería.

De este modo, Julián Ferrufino recoge, como en el caso de otras obras con contenidos geométricos, los tecnicismos correspondientes a los elementos básicos de la geometría plana.

Vemos desarrollados los conceptos geométricos: punto, línea, superficie y cuerpo. Junto a la definición de línea, aparece la definición y clasificación de su tipología (línea recta, líneas perpendiculares, líneas oblicuas y paralelas), así como de las figuras planas: polígonos y superficies planas (como el círculo y sus partes –circunferencia, centro y diámetro– y el medio círculo).

Continúa con la clasificación de los ángulos según la posición de las rectas (ángulos rectilíneos, ángulos curvilíneos, «ángulos de líneas desemejantes») y según la abertura (ángulo recto y los ángulos oblicuos: ángulo agudo y ángulo obtuso).

Posteriormente, inserta la definición de algunos polígonos: triángulo, que se divide en tipos, según sus lados y sus ángulos; el cuadrángulo, el cuadrado, el pentágono («quinquángulo») y el hexágono («sexángulo»).

Por último, define un cuerpo geométrico, la esfera o globo, que es el cuerpo de revolución más simple y regular, y sus partes: el centro, el diámetro, el eje y los polos de la esfera.

4.2.3 Arte militar

4.2.3.1 Cristóbal de Rojas

La Teórica y práctica de fortificación (Madrid, 1598) es el más importante tratado sobre fortificación aparecido en la España del siglo XVI. La publicación es fruto de las tareas docentes que desarrolló en la Academia Real Matemática, donde se dedicó a leer «fortificación» y «teórica y práctica de los escuadrones».

El propio autor deja constancia de que la primera cualidad que debe poseer todo ingeniero que quiera manejar perfectamente la materia de fortificación es el conocimiento de la geometría. Para ello, dispuso su tratado con la finalidad de divulgar entre estos profesionales todos los saberes de geometría práctica requeridos para desempeñar su oficio.

En una línea muy parecida a la Descrizión y tratado de Julio Ferrufino, la Téorica de Rojas no puede considerarse una traducción parcial fidedigna de Los Elementos por el simple hecho de albergar una gran mayoría de las proposiciones de Euclides, lo que era habitual, por otro lado, en algunos textos de ingeniería de la época.

No obstante, el tratado de Rojas selecciona una gran parte de las proposiciones euclidianas que considera pertinentes para el ingeniero. De este modo, expone los principios geométricos que deben servir de herramienta a estos profesionales para realizar sus obras de ingeniería.

El capítulo V de la primera parte contiene quince definiciones de los conceptos correspondientes a elementos básicos de la geometría plana: punto, línea, superficie, ángulos alternos, ángulos de advértice, ángulos deinceps, triángulo rectángulo, triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo escaleno, cuadrado, cuadrángulo o paralelogramo, rombo, romboide y figura trapecia; junto a las cuales el autor recopila “las demostraciones forçosas de Euclides”, esto es, las proposiciones, como la primera, que enseña “sobre una línea recta dada terminada, hazer un triángulo equilátero”, hasta llegar a la proposición XIV del libro XI de Euclides, dedicada a la geometría del espacio.

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